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Océane @oceane@peculiar.florist
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Si je comprends bien, une version spécifique du théorème de Newton basée sur le théorème de Héron d'Alexandrie pour le calcul de la racine carrée de tout réel supérieur ou égal à 0 x serait :

u_{n+1} = \frac{\frac{x^2}{u_n}+u_n}{2}

où u_0 est une première tentative d'approximation.

(SICP seconde édition p. 23)

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Océane @oceane@peculiar.florist
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Tout ceci a l'air beaucoup moins intimidant si on donne des petits noms aux composants de la suite : JP_{n+1} – ce bon vieux JP_{n+1} – vaut \frac{x^2}{u_n} et Julie_{n+1} vaut \frac{JP_{n+1} + u_n}{2}.

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Océane @oceane@peculiar.florist
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Pour donner un exemple, si l'on tente de calculer la racine carrée de 2 et que l'on part d'une première approximation de 1, alors pour u_0 JP_1 vaut \frac{2}{1}.

Mais que vaut Julie_1 ? Julie_1 vaut la moyenne de JP_1 et de u_0, soit \frac{\frac{2}{1}+1}{2}.

Ça correspond à \frac{3}{2}, soit 1,5.

Et c'est bon, on a u_1.

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Océane @oceane@peculiar.florist
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u_2 vaut la moyenne de JP_2 et de u_1, soit

\frac{\frac{2}{1,5}+1,5}{2}

On a donc

u_2 = \frac{1,3333 + 1,5}{2} = 1,4167

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