Well, it's about time pour moi de vous parler de the incredible présentation que je vais donner mardi à 10h !
Ceci est le début d'un fil (sur les #maths, plus précisément sur la théorie de la #mesure, une branche de l'#analyse) que vous pouvez mute en bloquant le tag #JovianMaths (mais vous n'oseriez pas, hum?)
Or donc, la présentation porte sur une thématique plutôt fondamental : le théorème... fondamental (haha) de l'analyse.
Qu'est-ce qu'il dit ? Si vous avez déjà touché à une #intégrale (qu'on introduit en général par la notion d'« aire sous la courbe » ) et à une #dérivée (cette fonction qui décrit le « comportement » de votre fonction), le théorème fondamental affirme (entre autre) que « certaines fonctions sont la dérivée de leur intégrale ».
(Évidemment, l'énoncé du théorème est plus précis : si f est une fonction continue sur l'intervalle compact [a,b], alors f admet une intégrale de Riemann sur cet intervalle, notée F. Cette fonction F est dérivable sur l'intervalle ouvert ]a,b[ et f(x) = F'(x) pour tout x dans ]a,b[.)
Pour détailler un peu : quant on dérive, c'est par rapport à des « points », et l'appellation dérivée est protégée, au sens où, sans qualificatif supplémentaire, il s'agit d'une fonction à une variable, sur la droite réelle.
Quant on différentie, on suppose que la variable peut vivre dans un monde différent (l'espace euclidien à 3 dimensions p. ex.)
La mesure de Lebesgue, elle, est la mesure « habituelle » : à tout cube, elle associe son volume, et ne varie pas par translation.
(invariante par translation, façon pompeuse de dire que prendre la mesure d'un même cube à n'importe quel endroit de l'espace ne change pas son volume ; c'est une propriété très naturelle en fait)
L'idée pour y arriver est la suivante : d'abord, on introduit la notion de dérivée d'une mesure, de sorte que cette « nouvelle dérivée » possède des propriétés analogues à la dérivée usuelle des fonctions.
Cette dérivée de mesure, une fois introduite, peut être comparée à une dérivée déjà connue : celle de Radon-Nikodym.
En fait, surprise ! Elles sont (presque partout) égales 🥳 !
Pour répondre à cette question, il faut poursuivre l'idée de départ.
Repensez à vos cours de proba : une mesure de proba peut-être exprimée à partir d'une fonction dite « de densité » (i.e. la loi de la variable aléatoire). Ici, on ne s'intéresse qu'au cas purement continu.
Vu que l'égalité presque partout (des dérivées) ne tient que pour les mesures finies, on obtiendra une façon de différentier des intégrales (pour ces mesures).
Puisqu'on sait dériver les mesures finies, que fait-on avec ça ?
(Enfin) démontrer les théorème de différentiation de Lebesgue !
On simplifie le problème en ne considérant le problème que sur un intervalle ouvert /et borné/ de la droite réelle. On définit une mesure concentrée sur cet intervalle (i.e. la mesure de n'importe quel ensemble disjoint de cet intervalle est nul) qui est une densité de la mesure de Lebesgue ; elle est donc finie.
Avant de développer davantage la stratégie de la preuve : kékécé le théorème de différentiation de Lebesgue ?
Ce théorème nous énonce que si une fonction est assez gentille pour la mesure de Lebesgue (i.e. elle est Lebesgue-mesurable), alors l'image d'un point quelconque est égale à la moyenne des intégrales autour de ce point.
Corollaire : si on désigne par F(x) l'intégrale de f entre -Infini et x, alors la dérivée de F en x vaut... f(x) (ça ne vous rappelle rien ?)
Pour en revenir à la stratégie : si on montre le résultat sur un intervalle ouvert ]a,b[ quelconque, alors on a gagné, puisqu'il suffira de pratiquer un passage à la limite en considérant un a qui tend vers -Infini et un b qui tend vers +Infini.
(Ce passage à la limite, à lui seul, est sujet à quelques développements, mais on va éviter d'alourdir ce fil qui devient déjà trop long et décousu (pun intended))
@oceane Intéressant, merci pour cet article ! Peux-tu clarifier ce que tu entends par la prédation de ProtonMail que tu mets en parallèle avec celle de Twitter ? Ce passage me semble assez flou (sans doute parce que je n'ai pas accès aux sources Océane2023a,b ; tu peux aussi les partager ?).
